Question

8．过原点O的直线与函数y=log₈x的图象交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y=1og₂x的图象于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．

Answer 1

分析 设出直线AB的方程，求出A，B，C，D的坐标，写出直线CD 的方程，即可判断C、D和原点O在同一直线上．

解答 证明：设过原点直线为y=kx，
且A，B两点坐标为（a，log₈a），B（b，log₈b），其中ka=log₈a，kb=log₈b；
C，D两点的横坐标分别与A、B相同，设C（a，log₂a），D（b，log₂b）；
所以，log₂a=3log₈a=3ka，
同理可得log₂b=3kb；
所以C，D两点都在直线y=3kx上，
且这条直线过原点，因此点O，C，D在同一直线上．

点评 本题考查对数函数的图象，直线的方程，考查计算能力，是基础题．