Question

5．已知数列{a_n}、{b_n}的每一项都是正数，a₁=12，b₁=8且2$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$（n≥2）又b_n，a_n，b_n+1成等比数列一切n∈N^*恒成立
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=2^n-1-（a_n-b_n），若c_n的前n项和为S_n，不等式S_n＞nλb_n对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的中项性质和等差数列的定义及通项公式，化简整理计算即可得到所求通项；
（2）求得C_n=2^n-1-（a_n-b_n）=2^n-1-2（n+1），运用数列的求和方法：分组求和，可得S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n（n+3）=2ⁿ-n²-3n-1．再由参数分离和构造法，求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由b_n，a_n，b_n+1成等比数列，可得
b_nb_n+1=a_n²，由a₁=12，b₁=8，可得b₂=$\frac{1{2}^{2}}{8}$=18，
由2$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$（n≥2）可得，
$\sqrt{{b}_{n+1}}$-$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n}}$-$\sqrt{{b}_{n-1}}$=…=$\sqrt{{b}_{2}}$-$\sqrt{{b}_{1}}$=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
即有$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{1}}$+$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$（n+1），
可得b_n=2（n+1）²；
则a_n²=b_nb_n+1=2（n+1）²•2（n+2）²，
可得a_n=2（n+1）（n+2）；
（2）C_n=2^n-1-（a_n-b_n）=2^n-1-2（n+1），
c_n的前n项和为S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n（n+3）=2ⁿ-n²-3n-1．
不等式S_n＞nλb_n对一切n∈N^*恒成立，
即为λ＜$\frac{{2}^{n}-{n}^{2}-3n-1}{2n（n+1）^{2}}$的最小值，
由n=1，2，3，4，5时，2ⁿ-n²-3n-1＜0，
n≥6时，2ⁿ-n²-3n-1＞0，
可得n=1时，$\frac{{2}^{n}-{n}^{2}-3n-1}{2n（n+1）^{2}}$取得最小值为-$\frac{3}{8}$，
则实数λ的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{8}$）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和数列的大小，属于中档题．