Question

已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．

（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；

（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，

是圆上另外一点，求实数的取值范围；

（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）或（2）当时，或 ；当时，或

（3）

【解析】

试题分析：解（1），所以，设

则，消去，得，…（2分）

解得，,所以的坐标为或   

（2）由题意可知点到圆心的距离为…（6分）

（ⅰ）当时，点在圆上或圆外，，

又已知，，所以  或    

（ⅱ）当时，点在圆内， 所以，

又已知 ，，即或

结论：当时，或 ；当时，或

（3）因为抛物线方程为，所以是它的焦点坐标，点的横坐标为，即 

设，，则，，，

所以         

直线的斜率，则线段的垂直平分线的斜率

则线段的垂直平分线的方程为

直线与轴的交点为定点    

考点：直线与圆，抛物线

点评：解决的关键是利用直线与圆的位置关系，以及抛物线的几何性质来求解斜率和中垂线方程，属于中档题。