Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面A₁B₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正切值．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
连接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D是正方体
∴A₁ACC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC（2分）
又∵O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴O₁C₁OA是平行四边形
∴C₁O∥AO₁，AO₁?平面A₁B₁D₁，C₁O?平面A₁B₁D₁，
∴C₁O∥面A₁B₁D₁；

（2）∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C
即B₁D₁⊥A₁C，
同理可证AB₁⊥A₁C，
又B₁D₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁；
（3）直线AC与平面AB₁D₁所成的角实际上
就是正四面体ACB₁D₁的一条棱与一个面所成的角，
余弦值为

3

3

，从而正切值为

2

．（13分）