Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（ ， ）在椭圆上，不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2 ， 且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△AOB的面积为S．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知a=2b且 ，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：
（2）解：设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，

∵k1、k、k2恰好构成等比数列．

∴k2=k1k2= ．

∴﹣4k2m2+m2=0，∴k=± ．

∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2

∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22= [（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，

∴|OA|2+|OB|2是定值为5

（3）解：S= |AB|d= = ．

当且仅当m=±1时，S的最大值为1

【解析】（1）根据椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点P（ ， ）在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k，进而表示出|OA|2+|OB|2 ， 即可得出结论；（3）表示出△ABO的面积，利用基本不等式，即可求S的最大值．