Question

【题目】设椭圆C： 的离心率e= ，左顶点M到直线 =1的距离d= ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；
（3）在（2）的条件下，试求△AOB的面积S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，又a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，c= ，

∴椭圆C的方程为 ．

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=﹣y2，

∵以AB为直线的圆经过坐标原点，∴ =0，

∴x1x2+y1y2=0，∴ ，

又点A在椭圆C上，∴ =1，

解得|x1|=|y1|= ．

此时点O到直线AB的距离 ．

②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，

联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴ ， ，

∵以AB为直径的圆过坐标原点O，∴OA⊥OB，

∴ =x1x2+y1y2=0，

∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，

∴（1+k2） ，

整理，得5m2=4（k2+1），

∴点O到直线AB的距离 = ，

综上所述，点O到直线AB的距离为定值 ．

（3）解：设直线OA的斜率为k0，

当k0≠0时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣ ，

联立 ，得 ，同理，得 ，

∴△AOB的面积S= =2 ，

令1+ =t，t＞1，

则S=2 =2 ，

令g（t）=﹣ + +4=﹣9（ ）2+ ，（t＞1）

∴4＜g（t） ，∴ ，

当k0=0时，解得S=1，

∴ ，∴S的最小值为

【解析】（1）由已知得 ，又a2=b2+c2 ， 由此能求出椭圆C的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为 ．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为 ，由此能证明点O到直线AB的距离为定值 ．（3）设直线OA的斜率为k0 ， OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=﹣ ，联立 ，得 ，同理，得 ，由此能求出△AOB的面积S的最小值．