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    已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

       (1)求证：f(x)是周期函数.

       (2)已知f(3)=2，求f(2 004).

    （1）证明见解析（2）-2


    解析:

    （1）证明  ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),

    则f(x+2)=f

    ∴f(x+3)=f

    ∴f(x+6)=f

    ∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.

    (2)解  f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

    练习册系列答案
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    [　　]

    A．()

    B．()

    C．()

    D．()∪()

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    已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

       (1)求证：f(x)是周期函数.

       (2)已知f(3)=2，求f(2 004).

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    A．                 B．

    C．                 D．

     

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    （本小题满分12分已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意xR,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.

    (Ⅰ)求证：f(x)是周期函数.

    (Ⅱ)已知f(-4)=2，求f(2012).

     

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