Question

（2011•大连二模）如图，在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁内动点，点F是CD的中点．
（Ⅰ）试确定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E（2，y，z）利用空间向量方法
将D₁E⊥平面AB₁F转化为

D1E • AF =0 D1E • AB1 =0

，进行代数运算，解出y，z．确定出E位置．
（Ⅱ）方法一：当D₁E⊥平面AB₁F时，平面AB₁F的法向量为

D1E

，又

AD

是平面A₁AB₁的法向量，利用两法向量夹角求出平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．
法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB₁A₁，过点G作GH⊥AB₁于H点，连接FH，则FH⊥AB₁，所以∠GHF为所求二面角的平面角，在△GHF中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），F（1，2，0），B₁（2，0，3），D₁（0，2，3），
设E（2，y，z），则

D1E

=(2，y-2，z-3)，

AF

=(1，2，0)，

AB1

=(2，0，3)．（4分）
由D₁E⊥平面AB₁F∴

D1E • AF =0 D1E • AB1 =0.

∴

2+2(y-2)=0 4+3(z-3)=0

∴

y=1 z= 5 3 .

∴E（2，1，

，5

3

） 为所求．  …（6分）
（Ⅱ）方法一：当D₁E⊥平面AB₁F时，

D1E

=(2，-1，-

4

3

)，
又

AD

是平面A₁AB₁的法向量，
且

AD

=(0，2，0)．（8分）cos＜

AD

，

D1E

＞=

AD • D1E

| AD |•| D1E |

=

2×0+(-1)×2+(- 4 3 )×0

2× 61 3

=-

3 61

61

．
∴面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小arccos

3 61

61

．（12分）
方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB₁A₁，
过点G作GH⊥AB₁于H点，连接FH，则FH⊥AB₁，
所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）
在△GHF中，FG=2，FHFH=1×tan∠B1AB=

3

13

tan∠GHF=

GF

GH

=

2 13

3

．
∴面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小arccos

3 61

61

．（12分）

点评：本题考查空间直线和平面垂直的判定．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低空间想象难度，思，将几何元素位置关系转化为代数运算表示．是人们研究解决几何体问题又一有力工具．