Question

设各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n且满足：2S_n=a_n（a_n+1）
（1）求a_n；
（2）若Tn=

n

i=1

(ai+1)•2i，求T_n．
（3）设m，np∈N^*，且m+n=2p，比较

1

S 2 m

+

1

S 2 n

与

2

S 2 p

的大小．

Answer 1

分析：（1）当n=1代入已知递推公式可求a₁，然后由2sn=an2+an，可得2sn-1=an-12+an-1，n≥2
两式相减整理可得a_n-a_n-1=1，结合等差数列的通项公式可求
（2）结合已知数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和
（3）由已知，结合基本不等式可得，（m+!）（n+1）≤(

m+n+2

2

)2=（p+1）²，即可比较大小

解答：解：（1）当n=1时，2s₁=2a₁=a₁（1+a₁），得a₁=1 …（1分）
∵2sn=an2+an，
∴2sn-1=an-12+an-1，n≥2   
两式相减得：2an=an2-an-12+an-an-1
整理可得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=1 故{a_n}为等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n    …（4分）
（2）Tn=2•2+3•22+…+(n+1)•2n
 2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹    
两式相减可得，-T_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1
=2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺¹ 
∴Tn=n•2n+1              …（7分）
（3）

1

S 2 m

+

1

S 2 n

与

2

S 2 p

的大小为

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

S 2 p

∵2p=m+n≥2

mn

∴mn≤p²
∴（m+1）（n+1）≤(

m+n+2

2

)2=（p+1）²

1

S 2 m

+

1

S 2 n

≥

2

smsn

=

8

mn(m+1)(n+1)

≥

8

p2(p+1)2

=

2

sp2

…（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项及错位相减求和方法的应用，还综合了基本不等式的应用