Question

15．函数y=3sinx+4cosx（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的值域是[$\frac{5}{2}$，5]，取最大值时tanx的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦公式，把函数化为一个角的一个三角函数的形式，由正弦函数的性质可得结论．

解答 解：函数y=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{4}{3}$．$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，
则∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴x+θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
则当x+θ=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为5，此时x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
当x+θ=$\frac{5π}{6}$时，函数取得最小值为$\frac{5}{2}$，
故函数的值域为[$\frac{5}{2}$，5]，
当x+θ=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为5，此时x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：[$\frac{5}{2}$，5]；$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查两角差的正弦公式的应用，以及正弦函数的最值，利用辅助角公式化简函数的解析式，是解题的关键．