Question

5．已知函数f（x）=xe^x，g（x）=ax-1
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g（x）＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题等价于a＞（e^x+$\frac{1}{x}$）在[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，令h（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，通过讨论h（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=（1+x）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1）．
（2）对任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]，g（x）＞f（x）恒成立，
等价于a＞e^x+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
令h（x）=e^x+$\frac{1}{x}$，则h′（x）=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
h″（x）=e^x+$\frac{2}{{x}^{3}}$＞0，
∴h′（x）在[$\frac{1}{2}$，1]递增，
∴h′（x）的最小值是h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-4＜0，
h′（x）的最大值是h（1）=e-1＞0，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上先递减再递增，
∴a＞${[h（\frac{1}{2}）或h（1）]}_{max}$，
而h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$+2，h（1）=e+1，
∴a＞e+1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．