Question

10．求双曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}tanθ}\\{y=-2+\frac{3}{cosθ}}\end{array}\right.$（θ为参数）的两条渐近线的夹角．

Answer 1

分析 由三角函数知识消去θ可得双曲线的方程，可得渐近线的斜率，可得夹角．

解答 解：由线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}tanθ}\\{y=-2+\frac{3}{cosθ}}\end{array}\right.$可得tanθ=$\frac{x-1}{\sqrt{3}}$，$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{y+2}{3}$，
由三角函数的知识可知1+tan²θ=sec²θ=（$\frac{1}{cosθ}$）²，
∴1+$\frac{（x-1）^{2}}{3}$=$\frac{（y+2）^{2}}{9}$，即$\frac{（y+2）^{2}}{9}$-$\frac{（x-1）^{2}}{3}$=1，
∴双曲线的两条渐近线的斜率为±$\sqrt{3}$，
∴两条渐近线的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查双曲线的参数方程，涉及三角函数公式和双曲线的渐近线夹角，属基础题．