Question

16．函数f（x）=sinx，g（x）=x-$\frac{x^3}{6}$．
（1）求曲线y=f（x）在点P（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线方程；
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（2）设h（x）=sinx-x+$\frac{{x}^{3}}{6}$，则h（0）=0，h′（x）=2[$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$][$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$]，由此利用导数性质即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=sinx的导数为f′（x）=cosx，
在点P（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线斜率为k=cos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
切点为（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
则在点P（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
即为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-$\frac{π}{4}$）；
（2）证明：要证当x＞0时，f（x）＞g（x）．
设h（x）=sinx-x+$\frac{{x}^{3}}{6}$，
则h（0）=0，h′（x）=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$=$\frac{{x}^{2}}{2}$-2sin²$\frac{x}{2}$
=2[$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$][$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$]，
∵x-sinx的导数为1-cosx≥0，x-sinx递增，
即有x-sinx＞0即x＞sinx，
∴$\frac{x}{2}$＞sin$\frac{x}{2}$，（x＞0），
∵$\frac{x}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$]时，0＜sin$\frac{x}{2}$≤1，$\frac{x}{2}$∈（$\frac{π}{2}$，+∞）时，-1≤sin$\frac{x}{2}$≤1＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$＞0，（x＞0），
于是h′（x）＞0，∴h（x）在x＞0时递增，从而有h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞x-$\frac{{x}^{3}}{6}$，（x＞0），
故当x＞0时，f（x）＞g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调性，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．