Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．求证：
（1）直线BD₁∥平面PAC；
（2）平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）直线PB₁⊥平面PAC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，AC交于O，连结OP，由四边形ABCD为平行四边形，推断出OD=OB，又P为DD₁的中点，可知OP∥BD₁，最后利用线面平行的判定定理推断出BD₁∥平面PAC．
（2）由AB=AD，O为BD的中点，推断出AC⊥BD，进而根据DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，推断出DD₁⊥BD，利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BDD₁，进而根据面面垂直的判定定理证明出平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）连结C₁P，B₁C，分别求得PC₁，PB₁，B₁C，进而知B₁C²=B₁P²+CP²，推断出∠CPB₁=90°，即PB₁⊥BC，由AC⊥平面BDD₁，PB₁?平面BDD₁，推断出AC⊥PB₁，根据线面垂直的判定定理知PB₁⊥平面PAC．

解答： 证明：（1）连结BD，AC交于O，连结OP，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，
∵P为DD₁的中点，
∴OP∥BD₁，
∵OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
∴BD₁∥平面PAC．
（2）∵AB=AD，O为BD的中点，
∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，
∵DD₁∩DB=D，DD₁?平面BDD₁，DB?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵AC?平面APC，
∴平面BDD₁⊥平面PAC；
（3）连结C₁P，B₁C，
在Rt△DC₁P中，PC₁=

1+1

=

2

在Rt△B₁C₁P中，PB₁=

P C 2 1 +B1 C 2 1

=

3

，
在Rt△B₁C₁C中，B₁C=

4+1

=

5

，
∴B₁C²=B₁P²+CP²，
∴∠CPB₁=90°，即PB₁⊥PC，
∵AC⊥平面BDD₁，PB₁?平面BDD₁，
∴AC⊥PB₁，
∵AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC，
∴PB₁⊥平面PAC．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对基本定理的记忆和灵活运用．