Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示曲线C，给出下列四个命题，其中正确的命题个数是（　　）
①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4
③曲线C不可能是圆
④若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则1＜t＜

5

2

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的简单性质,双曲线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用椭圆、双曲线的定义，结合标准方程，即可得出结论．

解答： 解：由4-t=t-1，可得t=

5

2

，方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示圆，故①③不正确；
由双曲线的定义可知：当（4-t）（t-1）＜0时，即t＜1或t＞4时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示双曲线，故③正确；
由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4-t＞t-1＞0，即1＜t＜

5

2

时方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦点在x轴上的椭圆，故④正确．
故选：B．

点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程，尤其要注意椭圆在x轴和y轴上两种情况，属于基础题．