Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{7}{6}$，S_n是 {a_n}的前n项和，点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n，T_n为c_n的前n项和，n∈N^*，求Tn．

Answer 1

分析 （1）点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的图象上．可得S_n+1=$\frac{1}{2}（2{S}_{n}+{a}_{n}）$+$\frac{1}{3}$，化为a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{3}$，变形为a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-\frac{2}{3}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n=$n×\frac{1}{{2}^{n}}$．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）点（2S_n+a_n，S_n+1）在f（x）=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{3}$的图象上．
∴S_n+1=$\frac{1}{2}（2{S}_{n}+{a}_{n}）$+$\frac{1}{3}$，
化为a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{3}$，变形为a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}（{a}_{n}-\frac{2}{3}）$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{2}{3}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{2}{3}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$+$\frac{2}{3}$．
（2）c_n=（a_n-$\frac{2}{3}$）n=$n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$1×\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+$3×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$n×\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$2×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（n-1）×\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$n×\frac{1}{{2}^{n+1}}$=1-（2+n）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本小题主要考查“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．