Question

1．已知函数在R上是单调函数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，则实数a的取值范围是$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据分段函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是在R上是单调函数，
∴若函数为单调递增函数，
则当x≥1和x＜0时，分别得到递增，且满足3a-1+4a≤log_a1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3a-1＞0}\\{7a-1≤0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{1}{3}}\\{a≤\frac{1}{7}}\end{array}\right.$．此时无解．
若函数为单调递减函数，
则当x≥1和x＜0时，分别得到递减，且满足3a-1+4a≥log_a1，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{3a-1＜0}\\{7a-1≥0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜\frac{1}{3}}\\{a≥\frac{1}{7}}\end{array}\right.$．解得$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
综上$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质是解决本题的关键．