Question

8．设函数f（x）=x³-1（x＞$\frac{1}{2}$）的图象为C₁，C₁关于直线y=x的对称图象为C₂．
（1）求C₂对应的函数y=g（x）的解析式及定义域M；
（2）对任意x₁，x₂∈M，并且x₁≠x₂，求证：3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|

Answer 1

分析 （1）利用原函数与反函数的图象关于直线y=x的对称及反函数的性质，能求出C₂对应的函数y=g（x）的解析式及定义域M．
（2）首先可以假设x₁＜x₂，去绝对值符号，然后构造函数，利用导数判断出函数的单调性，进而证明出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-1（x＞$\frac{1}{2}$）的图象为C₁，C₁关于直线y=x的对称图象为C₂．
∴C₂对应的函数y=g（x）为：x=y³-1，x＞-$\frac{7}{8}$，
∴函数y=g（x）的解析式为$y=\root{3}{x+1}$，定义域M为{x|x＞-$\frac{7}{8}$}．
（2）∵x₁，x₂∈{x|x＞-$\frac{7}{8}$}，并且x₁≠x₂，
不妨设x₁＜x₂，
∴3|g（x₁）-g（x₂）|=3|$\root{3}{{x}_{1}+1}$-$\root{3}{{x}_{2}+1}$|=3（$\root{3}{{x}_{2}+1}$-$\root{3}{{x}_{1}+1}$），
∴4|x₁-x₂|=4（x₂-x₁），
因此要证明3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|等价于证明3（$\root{3}{{x}_{2}+1}$-$\root{3}{{x}_{1}+1}$）＜4（x₂-x₁），
即需证3$\root{3}{{x}_{2}+1}$-4x₂＜3$\root{3}{{x}_{1}+1}$）-4x₁，
令g（x）=3$\root{3}{x+1}$-4x，则g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{\frac{2}{3}}}$-4，当x=-$\frac{7}{8}$时，g′（x）=0，由于h（x）=（x+1）${\;}^{\frac{2}{3}}$在x＞-$\frac{7}{8}$上递增，则当x＞-$\frac{7}{8}$时，g′（x）＜0，即g（x）=3$\root{3}{x+1}$-4x在x＞-$\frac{7}{8}$上为减函数，
∴g（x₂）＜g（x₁），即3$\root{3}{{x}_{2}+1}$-4x₂＜3$\root{3}{{x}_{1}+1}$）-4x₁，
∴对任意x₁，x₂∈M，并且x₁≠x₂，3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|．

点评 本题考查反函数的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．