Question

19．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$的值域为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． [-1，$\frac{1}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{8}$]
• D． [-1，$\frac{1}{8}$]

Answer 1

分析 通过换元得到而f（t）=-2${（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，（0＜$\frac{1}{t}$≤1），得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可．

解答 解：令t=x²+1，（t≥1），
∴f（t）=$\frac{t-2}{{t}^{2}}$，（t≥1）
而f（t）=-2${（\frac{1}{t}-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{1}{8}$，（0＜$\frac{1}{t}$≤1），
∴f（t）在（0，$\frac{1}{4}$）递增，在（$\frac{1}{4}$，1]递减，
∴f（t）_最大值=f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{8}$，f（t）_最小值=f（1）=-1，
∴原函数的值域是[-1，$\frac{1}{8}$]，
故选：D．

点评 本题考查了函数的值域问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．