Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，点A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB₁，BC⊥OE而得以证明．在Rt△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．
（2）分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夹角公式求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值，从而可得正弦值．

解答： （1）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，
∵AA₁∥BB₁，∴OE⊥BB₁，
∵A₁O⊥平面ABC，∴BC⊥平面AA₁O，∴BC⊥OE，
∴OE⊥平面BB₁C₁C，
又AO=

AB2-BO2

=1，AA₁=

5

得AE=

AO2

AA1

=

5

5

．…4′
（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

=

1

5

AA1

，得点E得坐标是(

4

5

，0，

2

5

)．
设平面A₁B₁C的法向量是

m

=(x，y，z)，
由

m • AB =0 m • A1C =0

得

x+2y=0 y+z=0

令y=1，得x=2，z=-1，

m

=(2，1，-1)
∴cos?

m

，

OE

＞=

m • OE

| m |•| OE |

=

30

10

∴平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的正弦值为

30

10

．…12′．

点评：本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，建立空间直角坐标系利用向量法是关键．