Question

已知函数f（x）=sinx-xcosx的导函数为f′（x）．
（1）求证：f（x）在（0，π）上为增函数；
（2）若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞

1

2

x²+λx成立，求实数λ的取值范围；
（3）设F（x）=f′（x）+2cosx，曲线y=F（x）上存在不同的三点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），x₁＜x₂＜x₃，且x₁，x₂，x₃∈（0，π），比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性求出递增区间；
（2）转化为求函数的最大值问题解决，利用导数求出函数的最大值即得结论；
（3）利用导数的几何意义求出求出斜率，判断斜率的大小关系，得出结论．

解答： 解 （1）证明：f′（x）=xsinx，
当x∈（0，π）时，sinx＞0，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f （x） 在（0，π）上单调递增．
（2）因为f′（x）＞

1

2

x²+λx，所以xsinx＞

1

2

x²+λx．
当0＜x＜π时，λ＜sinx-

1

2

x．
设φ（x）=sinx-

1

2

x，x∈（0，π），则φ′（x）=cosx-

1

2

．
当0＜x＜

π

3

时，φ′（x）＞0；当

π

3

＜x＜π时，φ′（x）＜0．
于是φ （x）在（0，

π

3

）上单调递增，在 （

π

3

，π）上单调递减，
所以当0＜x＜π时，φ（x）_max=g （

π

3

）=

3

2

-

π

6

因此λ＜

3

2

-

π

6

．
（3）由题意知只要判断

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

的大小．
首先证明：

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜F′（x₂）．
由于x₂＜x₃，因此只要证：F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
设函数G（x）=F（x）-F（x₂）-（x-x₂） F′（x₂）（ x₂＜x＜π），
因为F′（x）=xcosx-sinx=-f（x），所以G′（x）=F′（x）-F′（x₂）=f （x₂）-f （x），
由（1）知f（x）在（0，π）上为增函数，所以G′（x）＜0．
则G（x）在（x₂，π）上单调递减，又x＞x₂，故G（x）＜G（x₂）=0．
而x₂＜x₃＜π，则G（x₃）＜0，即F（x₃）-F（x₂）-（x₃-x₂） F′（x₂）＜0，即F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
从而

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜F′（x₂）得证．
同理可以证明：F′（x₂）＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

．
因此有

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

，即直线AB的斜率大于直线BC的斜率．

点评：本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′（x₂），难度稍大．