Question

数列{a_n}满足a_n=S_n-1+n，a₁=0，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中取n=n+1得到另一递推式，作差后得到新的等比数列{a_n+1}，由等比数列的通项公式得答案．

解答： 解：由a_n=S_n-1+n（n≥2），得：
a_n+1=S_n+n+1，
两式作差得：a_n+1-a_n=a_n+1，
即a_n+1=2a_n+1，
a_n=2a_n-1+1．
则a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2）．
又a₁+1=0+1=1≠0，
∴数列{a_n+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=1×2n-1，
an=2n-1-1（n≥2）．
验证a₁=0适合上式．
∴an=2n-1-1．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．