Question

圆M和圆P：x²+y²-2

2

x-10=0相内切，且过定点Q（-

2

，0）．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；
（Ⅱ）斜率为

3

的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，-

1

2

），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题

分析：（Ⅰ）依题意，不难得到|MP|+|MQ|=2

3

，且2

3

大于|PQ|，转化为椭圆定义，求出动圆圆心M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，求出AB的中点，可得AB的垂直平分线方程，将（0，-

1

2

）代入，即可求直线l的方程．

解答： 解：（I）由已知|MP|=2

3

-|MQ|，即|MP|+|MQ|=2

3

，且2

3

大于|PQ|…（3分）
所以M的轨迹是以P，Q为焦点，2

3

为长轴长的椭圆，即其方程为

x2

3

+y2=1；       …（5分）
（II）设直线l的方程为y=

3

x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线l的方程代入椭圆方程得10x²+6

3

mx+3m²-3=0…（6分）
∴x₁+x₂=-

3 3

5

m                                       …（7分）
∴AB的中点（-

3 3

10

m，

m

10

）                               …（8分）
∴AB的垂直平分线方程为y-

m

10

=-

3

3

（x+

3 3

10

m）          …（9分）
将（0，-

1

2

）代入得m=

5

6

                                  …（11分）
∴直线l的方程为y=

3

x+

5

6

．                           …（12分）

点评：本题考查圆与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，是中档题．