Question

已知x∈R，求f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：本题可以先通过换元将原函数转化为代数函数，求出相应函数的导函数，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，即本题答案．

解答： 解：设t=sin²x+1，（1≤t≤2）．
g(t)=t+

5

t

，
∴g′(t)=1-

5

t2

=

(t+ 5 )(t- 5 )

t2

，
∵1≤t≤2，
∴g′（t）＜0．
∴g（t）在[1，2]上单调递减．
∴[g(t)]min=g(2)=

9

2

．
∴f（x）=sin²x+1+

5

sin2x+1

的最小值为

9

2

．

点评：本题考查了导数法求单调区间、函数的最值，培养学生分析问题解决问题的能力，要注意的是如果本题运用基本不等式求最值时，不具备取等号的条件．本题难度不大，属于中档题．