Question

已知数列{a_n}的通项为an=log(n+1)(n+2)  (n∈N*)，我们把使乘积a₁?a₂?a₃…a_n为整数的n叫做“优数”，则在（1，2012]内的所有“优数”的和为（　　）

• A、1024
• B、2012
• C、2026
• D、2036

Answer 1

分析：由题意求出a₁•a₂…a_n=log₂（n+2），若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k，在（1，2012]内的所有整数可求，进而利用等比数列的求和公式可求．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k
在（1，2012]内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

=2026．
故选：C．

点评：本题主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，新定义形式的考查是近几年高考的重要题型，属于中档试题．