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如图在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.
(3)求三棱锥P-ABC的体积.
分析:(1)作PO⊥平面ABC于点O,由PA=PB=PC,知O为△ABC的外心,由∠ABC=90°,知O为AC边的中点,即O与M点重合,由此能够证明PM⊥平面ABC;
(2)由(1)知PM⊥平面ABC,连结MB,则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角,在直角三角形PBM中,利用边与角的关系即可求出答案.
(3)直接利用锥体的体积公式V=
1
3
•S△ABC•PM即可得出答案.
解答:证明:(1)作PO⊥平面ABC于点O,
∵PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,即O为△ABC的外心
又∵△ABC中,∠ABC=90°,∴O为AC边的中点,
∴O与M点重合,
∴PM⊥平面ABC;
(2)连结MB,则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角,
在直角三角形PBM中,PB=13,PM=12,BM=
1
2
AC=5
∴tan∠PBM=
12
5

(2)三棱锥P-ABC的体积V=
1
3
•S△ABC•PM=
1
3
×
1
2
×8×6×12
=96.
点评:本题考查直线与平面垂直的判定,考查直线与平面所成的角的求法,解题时要认真审题,仔细解答.
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3
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