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精英家教网如图在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求证:BC⊥平面PAC
(2)当D为PB中点时,求AD与平面PAC所成的角的余弦值;
(3)是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角,并说明理由.
分析:(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,而PA⊥BC,BC⊥AC,满足定理所需条件;
(2)建立空间直角坐标系,求出各点坐标,由DE⊥平面PAC可知,∠DAE即是所求的二面角的平面角,利用向量的夹角的公式求出此角即可;
(3)设D点的y轴坐标为a,DE⊥AE,DE⊥PE,当A-DE-P为直二面角时,PE⊥AE,利用垂直,向量的数量积为零建立等式关系,解之即可.
解答:精英家教网解:(1)
PA⊥底面ABC
BC?平面ABC
?PA⊥BC

BC⊥AC
AC∩PA=A
AC,PA?平PAC
?BC⊥平面PAC
(2)建立空间直角坐标系如图,各点坐标分别为:
P(0,0,1),B(0,1,0),C(
3
4
3
4
,0)
D(0,
1
2
1
2
),E(
3
8
3
8
1
2
)

AD
=(0,
1
2
1
2
),
AE
=(
3
8
3
8
1
2
)

由DE⊥平面PAC可知,∠DAE即是所求的二面角的平面角.∴cos<
AD
AE
>=
AD
AE
|AD|
|
AE
|
=
14
4

故所求二面角的余弦值为
14
4

(3)设D点的y轴坐标为a,DE⊥AE,DE⊥PE,当A-DE-P为直二面角时,PE⊥AE
AE
=(
3
3
a,a,1-a),
PE
=(
3
3
a,a,-a),得
AE
PE
=
1
3
a2+a2-a+a2=0?a=
3
7

E(
3
7
3
7
4
7
)
,所以符合题意的E存在.
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及二面角的度量,直二面角的运用,同时考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.
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