Question

已知a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x²-（k-1）x+k²=0两个根，则以下结论正确的是（　　）

• A．k的取值范围为（-1，3）
• B．若a，b∈（-∞，0），则k的取值范围为（-∞，1）
• C．ab+2（a+b）的取值范围是(-2，-

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  )
• D．若a＜-1＜b，则k的取值范围为（-1，0）

Answer 1

分析：若方程有两个根，则△＞0，解不等式可得k的取值范围；若a，b∈（-∞，0），则方程有两个负根，△＞0且k-1＜0；根据韦达定理可将ab+2（a+b）化为一个关于k的表达式，根据二次函数的图象和性质，可得其取值范围，若a＜-1＜b，则当x=-1时，x²-（k-1）x+k²＜0，由此可得k的取值范围．

解答：解：∵a≠b（a、b∈R）是关于x的方程x²-（k-1）x+k²=0两个根，∴（k-1）²-4k²=-3k²-2k+1＞0，即3k²+2k-1＜0，解得-1＜k＜

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，故A错误；
若a，b∈（-∞，0），则k-1＜0且-1＜k＜

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，故k的取值范围为（-1，1），故B错误；
ab+2（a+b）=k²+2（k-1）=k²+2k-2=（k+1）²-3，（-1＜k＜

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3

），即ab+2（a+b）∈（-3，-

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），故C错误
若a＜-1＜b，当x=-1时，x²-（k-1）x+k²＜0，即k+k²＜0，解得k∈（-1，0），故D正确
故选D

点评：本题考查的知识点是根与系数的关系，其中熟练掌握一元二次方程根的个数与△的关系是解答本题的关键．