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已知圆M的方程为:x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N与圆M相切.
(1)求圆N的方程;
(2)圆N与x轴交于E、F两点,圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求·的取值范围;
(3)过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点,且直线MA和直线MB的倾斜角互补,试判断直线MN和AB是否平行?请说明理由

圆M的方程可整理为:(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心M(1,1),半径R=2.
(1)圆N的圆心为(0,0),
因为|MN|=<2,所以点N在圆M内,
故圆N只能内切于圆M.
设其半径为r.
因为圆N内切于圆M,
所以有:|MN|=R-r,
即=2-r,解得r=.
所以圆N的方程为
x2+y2=2.
(2)由题意可知:E(-,0),F(,0).
设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,
得|DO|2=|DE|×|DF|,
即:×
=x2+y2
整理得:x2-y2=1.
而=(--x,-y),
=(-x,-y),·
=(--x)(-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,由于点D在圆N内,故有,由此得y2<,所以·∈[-1,0).
(3)因为直线MA和直线MB的倾斜角互补,故直线MA和直线MB的斜率存在,且互为相反数,设直线MA的斜率为k,则直线MB的斜率为-k.故直线MA的方程为
y-1=k(x-1),
直线MB的方程为
y-1=-k(x-1),
由,
得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.
因为点M在圆N上,故其横坐标x=1一定是该方程的解,
可得xA=,
同理可得:xB=,
所以kAB==

=1=kMN.
所以,直线AB和MN一定平行

解析

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