Question

12．已知过原点的动直线与圆${C_1}：{x^2}+{y^2}-6x+5=0$相交于不同的两点A，B．
（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在实数，使得直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C₁的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（2）通过联立直线L与圆C₁的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．

解答 解：（1）设M（x，y），
∵点M为弦AB中点即C₁M⊥AB，
∴${k_{{C_1}M}}•{k_{AB}}=-1$即$\frac{y}{x-3}•\frac{y}{x}=-1$，
∴线段AB的中点M的轨迹的方程为${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{9}{4}（{\frac{5}{3}＜x≤3}）$；
（2）由（1）知点M的轨迹是以$C（{\frac{3}{2}，0}）$为圆心$r=\frac{3}{2}$为半径的部分圆弧EF（如图所示，不包括两端点），且$E（{\frac{5}{3}，\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）$，$F（{\frac{5}{3}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）$，又直线L：y=k（x-4）过定点D（4，0），
当直线L与圆C相切时，由$\frac{{|{k（{\frac{3}{2}-4}）-0}|}}{{\sqrt{{k^2}+{1^2}}}}=\frac{3}{2}$得$k=±\frac{3}{4}$，又${k_{DE}}=-{k_{DF}}=-\frac{{0-（{-\frac{{2\sqrt{5}}}{3}}）}}{{4-\frac{5}{3}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{7}$，
结合上图可知当$k∈\left\{{-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}}\right\}∪[{-\frac{{2\sqrt{5}}}{7}，\frac{{2\sqrt{5}}}{7}}]$时，直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点．

点评 本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．