Question

1．（1）已知$\lim_{x→∞}（{\frac{{2{n^2}}}{n+2}-na}）=b$，求a，b的值．
（2）已知$\lim_{x→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（a+1）}^n}}}=\frac{1}{3}$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过数列的极限的运算法则，推出a，b的方程求解即可．
（2）利用数列的极限推出不等式求解即可．

解答 解：（1）$\lim_{x→∞}（{\frac{{2{n^2}}}{n+2}-na}）=b$，可得$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{2{n}^{2}-a{n}^{2}-2na}{n+2}）$=b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2-a=0}\\{2a=b}\end{array}\right.$，解得a=2，b=4．
（2）已知$\lim_{x→∞}\frac{3^n}{{{3^{n+1}}+{{（a+1）}^n}}}=\frac{1}{3}$，
可得$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{3+（\frac{a+1}{3}）^{n}}$=$\frac{1}{3}$，
可得$-1＜\frac{a+1}{3}＜1$，
解得a∈（-4，2）．

点评 本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查转化思想以及计算能力．