Question

11．（1）等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，S₁₀=120，求a_n；
（2）已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）基本量法，即用a₁，d表示S₁₀，列出关于d的方程，解出d，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由平方降幂公式及二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，由-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$可得0$≤2x+\frac{π}{3}≤π$，由三角函数性质可求出值域．

解答 解：（1）由题意得设数列{a_n}的公差为d，
此时${S}_{10}=\frac{10（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}$=$\frac{10（{a}_{1}+{a}_{1}+9d）}{2}$=120，
解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
（2）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2co{s}^{2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，
又-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，从而-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴2x+$\frac{π}{6}$=0时，f（x）_min=0，2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，f（x）_max=2，
故函数f（x）的值域为[0，2]．

点评 本题考查数列的通项的求法，考查函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列及函数性质的合理运用．