Question

10．已知函数f（x）=|x|+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）．
（1）当m=5时，判断f（x）在（-∞，0）的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（3）讨论f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）当m=5时，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{5}{x}-1$是单调递减的．利用核对单调性的定义，设x₁＜x₂＜0，判断f（x₁）-f（x₂）＞0，推出结果，
（2）由f（2^x）＞0得$|{2^x}|+\frac{m}{2^x}-1＞0$，变形为（2^x）²-2^x+m＞0，即m＞2^x-（2^x）²，利用二次函数的最值求解即可．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0（x≠0），变为m=-x|x|+x（x≠0），令$g（x）=x-x|x|=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+x，x＞0}\\{{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$，作y=g（x）的图象及直线y=m，求解零点个数．

解答 解：（1）当m=5时，且x＜0时，$f（x）=-x+\frac{5}{x}-1$是单调递减的．
证明：设x₁＜x₂＜0，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（-{x_1}+\frac{5}{x_1}-1）-（-{x_2}+\frac{5}{x_2}-1）$=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{5}{x_1}-\frac{5}{x_2}）=（{x_2}-{x_1}）+\frac{{5（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{5}{{{x_1}{x_2}}}）$，
又x₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以$（{x_2}-{x_1}）（1+\frac{5}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故当m=5时，$f（x）=-x+\frac{5}{x}-1$在（-∞，0）上是单调递减的．
（2）由f（2^x）＞0得$|{2^x}|+\frac{m}{2^x}-1＞0$，变形为（2^x）²-2^x+m＞0，即m＞2^x-（2^x）²，
而${2^x}-{（{2^x}）^2}=-{（{2^x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}$，
当${2^x}=\frac{1}{2}$即x=-1时${（{2^x}-{（{2^x}）^2}）_{max}}=\frac{1}{4}$，所以$m＞\frac{1}{4}$．
（3）由f（x）=0可得x|x|-x+m=0（x≠0），变为m=-x|x|+x（x≠0），
令$g（x）=x-x|x|=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+x，x＞0}\\{{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$，
作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得：
当$m＞\frac{1}{4}$或$m＜-\frac{1}{4}$时，f（x）有1个零点．
当$m=\frac{1}{4}$或m=0或$m=-\frac{1}{4}$时，f（x）有2个零点．
当$0＜m＜\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{4}＜m＜0$时，f（x）有3个零点．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象，零点个数，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．