Question

16．现需要对某旅游景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，且X∈（1，t]．且当X=10时，y=9.2
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式
（Ⅱ）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=10时，y=9.2，代入y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，求出a，得到函数的解析式．
（Ⅱ）对f（x）求导，得f′（x），通过f′（x）=0求出极值点，判断函数的导数符号，得到函数的单调性，然后推出最值点即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因当x=10时，y=9.2，代入y=$\frac{51}{50}$x-ax²-ln$\frac{x}{10}$，
即$\frac{51}{50}×10-a×{10}^{2}-ln1=9.2$，解得a=$\frac{1}{100}$．
所以y=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-ln$\frac{x}{10}$，x∈（1，t]…．（4分）
（Ⅱ）对f（x）求导，得f（x）=$\frac{51}{50}-\frac{x}{50}-\frac{1}{x}$=-$\frac{{x}^{2}-51x+50}{50x}$=$-\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，
令f′（x）=0得x=1（不合题意），或x=50
当1＜x＜50时，f′（x）＞0，即f（x）递增，当x＞50时，f′（x）＜0，即f（x）递减．
①当t＞50时，
x∈（1，50）时，f′（x）＞0，即f（x）在（1，50）递增，
x∈（50，t）f′（x）＜0，即f（x）在（50，t）递减…（8分）
故当x=50时，y取得最大值．
②当t＜=50时，
x∈（1，t）时，f′（x）＞0，即f（x）在（1，t）递增，
当x=t时，y取得最大值．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及好的最值的求法，正确求出函数的解析式是基础，利用导数求解是解题的关键．