Question

已知函数，x∈[0，+∞）
（1）证明：函数在上为单调减函数，在上为单调增函数；
（2） 若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．

Answer 1

解：（1）设x₁＞x₂≥0，则
=．
当时，，
，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在上为单调减函数；
当时，，
，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）在上为单调增函数．得证；
（2）解：①当时，由（1）知函数f（x）在[0，a]上单调递减，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（a）=2^a+2^1-a-1；
②当时，由（1）知函数f（x）在上单调递减，
在上单调递增，且f（0）=f（1），
所以；
③当a＞1时，由（1）知函数f（x）在上单调递减，
在上单调递增，且f（0）=f（1），
所以．
分析：（1）设x₁＞x₂≥0，表示出f（x₁）-f（x₂），化简后，分两种情况考虑：当时，经过判断f（x₁）-f（x₂）的符号为负，即得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数在此区间为减函数；当时，同理判断出f（x₁）-f（x₂）的符号为正，即得到f（x₁）＞f（x₂），所以函数在此区间为增函数，得证；
（2）分三种情况考虑：当a大于0小于等于时，当a大于小于等于1时及a大于1时，分别根据（1）证出的函数的单调区间，即可得到相应函数的最大和最小值．
点评：此题考查学生会利用做差法判断两个式子的大小，掌握函数单调的性质，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道综合题．