Question

【题目】已知函数f（x）=1+x﹣ + ﹣ ﹣…+ ﹣ + ，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）在（0，1）上恰有一个零点
B.f（x）在（0，1）上恰有两个零点
C.f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点
D.f（x）在（﹣1，0）上恰有两个零点

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数f（x）=1+x﹣ + ﹣ ﹣…+ ﹣ + ，
可得f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012﹣x2013+x2014
=（1﹣x）+x2（1﹣x）+…+x2012（1﹣x）+x2014
=（1﹣x）（1+x2+…+x2012）+x2014 ，
当x＜1时，1﹣x＞0，f′（x）＞0，
可得f（x）在（﹣∞，1）上递增，
由f（0）=1＞0，可得f（1）＞0，即有f（x）在（0，1）无零点，则A，B均错；
由f（﹣1）=1﹣1﹣ ﹣ ﹣…﹣ ＜0，又f（x）在（﹣1，0）递增，
由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点．
则C正确，D错误．
故选：C．