Question

已知函数f（x）=ln

x+1

x-1

．
（1）求函数的定义域；   
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）直接由对数式的真数大于0，求解分式不等式得函数的定义域；
（2）由函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的单调性，然后结合奇函数在对称区间上的单调性得函数在（-∞，-1）上的单调性．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0，得（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＜-1或x＞1．
∴函数f（x）=ln

x+1

x-1

的定义域为{x|x＜-1或x＞1}；
（2）设任意x₁＞x₂＞1，
f(x1)-f(x2)=ln

x1+1

x1-1

-ln

x2+1

x2-1

=ln(

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

)=ln

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

．
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₁x₂-1+x₁-x₂＞x₁x₂-1+x₂-x₁＞0，
∴0＜

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

＜1，
则f(x1)-f(x2)=ln

(x1x2-1)+x2-x1

(x1x2-1)+x1-x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）=ln

x+1

x-1

在（1，+∞）上为减函数；
又f（-x）=ln

-x+1

-x-1

=ln

x-1

x+1

=-ln

x+1

x-1

=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
则f（x）在（-∞，-1）上为减函数．
综上，函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上为减函数．

点评：本题考查了对数函数定义域的求法，训练了函数单调性的判断方法，考查了奇函数在对称区间上的单调性，是中档题．