Question

9．函数$f（x）=\frac{1}{x+1}+2sinπx（{-5≤x≤2且x≠-1}）$的所有零点之和等于（　　）

• A． -10
• B． -8
• C． -6
• D． -4

Answer 1

分析 把函数$f（x）=\frac{1}{x+1}+2sinπx（{-5≤x≤2且x≠-1}）$的零点转化为g（x）=$\frac{1}{x+1}$与h（x）=-2sinπx的交点横坐标，画出图形，数形结合得答案．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{x+1}+2sinπx（{-5≤x≤2且x≠-1}）$的零点，就是方程$\frac{1}{x+1}+2sinπx=0（-5≤x≤2且x≠-1）$的根，
即方程$\frac{1}{x+1}=-2sinπx$的根，
令g（x）=$\frac{1}{x+1}$，h（x）=-2sinπx，
作出两个函数的图象如图：

由图可知，g（x）=$\frac{1}{x+1}$与h（x）=-2sinπx的交点个数为8个，
由对称性可知，函数$f（x）=\frac{1}{x+1}+2sinπx（{-5≤x≤2且x≠-1}）$的所有零点之和为-2×4=-8．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．