Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），-1）（其中$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{3}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，且f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$．
（1）求f（$\frac{3}{4}$π）的值；
（2）若f（$\frac{α}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，f（$\frac{β}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，且$α，β∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，利用向量的数量乘积的运算，求解f（x）的解析式，即可求f（$\frac{3}{4}$π）的值；
（2）根据f（$\frac{α}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，f（$\frac{β}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，求解sinα，cosα，cosβ，sinβ，利用和与差的公式即可求cos（α-β）的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{π}{4}$），-1）
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，=2cosωx（sinωx+cosωx）-1=2sinωxcosωx+2cos²ωx-1
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
∵f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$．
∴2ω×$\frac{5π}{8}$+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）
∴$ω=\frac{4}{5}（{\frac{1}{4}+k}）$（k∈Z）
又$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{3}{2}$．
∴ω=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴f（$\frac{3}{4}$π）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{3}{4}$π+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=-1．
（2）∵f（$\frac{α}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，f（$\frac{β}{2}-\frac{π}{8}$）=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
∴sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=$\frac{2}{3}$，
∵$α，β∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}）$，
∴cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{10}+2}{9}$．

点评 本题考查了向量的数量乘积的运算和函数解析式的求法，和与差公式的运用．属于基础题．