Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=2x²，且x∈[0，+∞）时f′（x）＞2x恒成立，则不等式f（8-x）+16x＜64+f（x）的解集为（　　）

• A． （4，+∞）
• B． （-∞，4）
• C． （8，+∞）
• D． （-∞，8）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=f（x）-x²，分析可得g（x）为奇函数且在R为增函数，f（8-x）+16x＜64+f（x）转化可得f（8-x）-（64-16x+x²）＜f（x）-x²，即g（8-x）＜g（x），结合g（x）的单调性可得8-x＜x，解可得x的取值范围．

解答 解：根据题意，令g（x）=f（x）-x²，
若f（x）+f（-x）=2x²，变形有f（x）-x²+f（-x）-（-x）²=0，
即g（x）+g（-x）=0，故g（x）为奇函数，
g（x）=f（x）-x²，g′（x）=f′（x）-2x，
又由x∈[0，+∞）时f′（x）＞2x恒成立，则x＞0时，g′（x）=f′（x）-2x＞0恒成立，
即g（x）在[0，+∞）为增函数，
又由g（x）为奇函数，则g（x）在（-∞，0）也为增函数，
综合可得：g（x）在R为增函数；
不等式f（8-x）+16x＜64+f（x），
则有f（8-x）-（64-16x+x²）＜f（x）-x²，
即g（8-x）＜g（x），
则有8-x＜x，
解可得x＞4，
即不等式f（8-x）+16x＜64+f（x）的解集为（4，+∞）；
故选：A．

点评 本题考查函数单调性的应用，涉及利用导数判断函数的单调性，关键是构造g（x），并分析函数g（x）的奇偶性、单调性．