Question

3．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式与单调递减区间；
（2）函数f（x）的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度，得到g（x）的图象，求函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析 （1）利用图象，求出相应参数，即可求函数f（x）的解析式与单调递减区间；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），由x∈[0，π]得x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象即可解得函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值及最小值．

解答 解：（1）由图知，函数的最大值，最小值为2，-2，知A=2；
从最高点到最低点，自变量增加$\frac{π}{2}$，则$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，T=π，$ω=\frac{2π}{π}=2$，
由五点法作图知$2（-\frac{π}{12}）+ϕ=\frac{π}{2}$，则$ϕ=\frac{2}{3}π$，
所以$f（x）=2sin（2x+\frac{2}{3}π）$函数的周期为π，且由图知函数的一个单调递减区间为$（-\frac{π}{12}，\frac{5}{12}π）$
因此f（x）的单调递减区间为$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5}{12}π+kπ），k∈Z$；
（2）由题意，g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，π]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴函数y=g（x）在x∈[0，π]上的最大值为2，最小值为-1．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．