Question

化简：

cos( π 4 +x)-sin( π 4 +x)

cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x)

的值为

 

．

Answer 1

分析：法一：给原式的分子分母都乘以分母后，分别利用平方差及完全平方公式化简，然后利用二倍角的正弦．余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，根据弦切互化公式化简得到值即可．
法二：给原式的分子分母同时除以cos（

π

4

+x），利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将其中的“1”变为tan

π

4

，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．

解答：解：法一：原式=

[cos( π 4 +x)-sin( π 4 +x)][cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x) ]

[cos( π 4 +x)+sin( π 4 +x)] 2

=

cos2( π 4 +x)-sin2( π 4 +x)

1+2sin( π 4 +x)cos( π 4 +x)

=

cos( π 2 +2x)

1+sin( π 2 +2x)

=

-sin2x

1+cos2x

=

-2sinxcosx

1+2cos2x-1

=

-sinxcosx

cos2x

=-

sinx

cosx

=-tanx；
法二：原式=

1-tan( π 4 +x)

1+tan( π 4 +x)

=

tan π 4 -tan( π 4 +x)

1+tan π 4 tan( π 4 +x)

=tan[

π

4

-（

π

4

+x）]
=tan（-x）
=-tanx．
故答案为：-tanx

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系弦化切，是一道中档题．