【题目】已知向量 =(sinx,2cosx),
=(5
cosx,cosx),函数f(x)=
+|
|2﹣
.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈( ,
)时,f(x)=﹣3,求cos2x的值;
(3)若cosx≥ ,x∈(﹣
,
),且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由函数f(x)=
+|
|2﹣
.
可得:f(x)= sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x﹣
= sin2x+
﹣
cos2x+3+3cos2x-
= sin2x+
cos2x
=5sin(2x+ )
∴函数f(x)的最小正周期T=
(2)解:当x∈( ,
)
可得2x+ ∈[
,2π]
∵f(x)=﹣3,即5sin(2x+ )=﹣3
∴sin(2x+ )=-
∴cos(2x+ )=
∴cos2x=cos[(2x+ )-
)=cos(2x+
)cos
)+sin(2x+
)sin
)=
(3)解:由题意∵cosx≥ ,x∈(﹣
,
),
∴x∈[- ,
],
∵f(x)=m有且仅有一个实根,即函数f(x)与y=m的图象只有一个交点.
f(x)=5sin(2x+ )
∴2x+ ∈[-
,
]
令2x+ =t,则t∈[-
,
],那么f(x)=5sin(2x+
)转化为g(t)=5sint与y=m的图象只有一个交点.
,g(t)=5sint图象如下:
从图象可看出:当﹣5≤m 或m=5时,函数y=m与g(t)=5sint只有一个交点.故得实数m的取值范围是{m|﹣5≤m
或m=5}
【解析】(1)根据平面向量数量积运算建立关系,求解f(x),利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期(2)根据x∈( ,
)时,出内层函数的取值范围,f(x)=﹣3,化简f(x),可求cos2x的值.(3)根据cosx≥
,x∈(﹣
,
),确定x的范围,利用数形结合法作f(x)=m有且仅有一个实根,可得答案.
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【题目】函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为4 ,则函数f(x)图象的一条对称轴的方程为( )
A.x=
B.x=
C.x=4
D.x=2
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【题目】函数f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图1所示;函数g(x)的定义域为[﹣2,2],图象如图2所示,设函数f(g(x))有m个零点,函数g(f(x))有n个零点,则m+n等于( )
A. 6 B. 10 C. 8 D. 1
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【题目】在四边形ABCD中, =(2,﹣2),
=(x,y),
=(1,
).
(1)若 ∥
,求x,y之间的关系式;
(2)满足(1)的同时又有 ⊥
,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.
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【题目】已知a=cos61°cos127°+cos29°cos37°, ,
,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c
B.a>b>c
C.c>a>b
D.a<c<b
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【题目】已经集合A={x|(8x﹣1)(x﹣1)≤0};集合C={x|a<x<2a+5}
(1)若 ,求实数t的取值集合B;
(2)在(1)的条件下,若(A∪B)C,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数;
(1)当时,若
,求
的取值范围;
(2)若定义在上奇函数
满足
,且当
时,
,
求在
上的反函数
;
(3)对于(2)中的,若关于
的不等式
在
上恒成立,求实
数的取值范围;
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【题目】已知函数f(x)= ﹣aln(1+x)(a∈R),g(x)=x2emx(m∈R).
(1)当a=1,求函数f(x)的最大值
(2)当a<0,且对任意实数x1 , x2∈[0,2],f(x1)+1≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
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