Question

直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积．(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

Answer 1

（1）见解析    （2）

解：(1)证法一：连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
证法二：取A′B′中点P，连接MP，NP.
而M，N分别为AB′与B′C′的中点，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.
(2)解法一：连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝B′C′＝1，
故V_A′－MNC＝V_N－A′MC＝V_N－A′BC＝V_A′－NBC＝.
解法二：V_A′－MNC＝V_A′－NBC－V_M－NBC＝V_A′－NBC＝.