Question

已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，f（2-x）=f（x）•e^2-2x 则下列判断一定正确的是（　　）

• A、f（1）＜f（0）
• B、f（3）＞e³•f（0）
• C、f（2）＞e•f（0）
• D、f（4）＜e⁴•f（0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：构造g（x）=

f(x)

ex

，再求出g′（x），判断g（x）的单调性，再根据已知条件，判断即可．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，则g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵f（x）满足

f′(x)-f(x)

x-1

＞0，
∴当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．
∴g（-1）＞g（0）．
即

f(-1)

e-1

＞

f(0)

e0

=f(0)
∵f（2-x）=f（x）•e^2-2x
∴f（3）=f（-1）e⁴＞e^-1f（0）•e⁴=e³f（0）．
故选：B．

点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于中档题．