Question

6．已知关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁＞0，x₂＞0，求k的取值范围；
（3）若x₁＜0，x₂＜0，求k的取值范围；
（4）若x₁＞0，x₂＜0，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质分别求得各种条件下k的取值范围．

解答 解：（1）根据关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂ ，
可得△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）＞0，求得k＜$\frac{13}{12}$．
（2）若x₁＞0，x₂＞0，令f（x）=（k-1）x²+（2k-3）x+k+1，则有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{3-2k}{k-1}＞0}\\{\frac{k+1}{k-1}＞0}\end{array}\right.$，求得1＜k＜$\frac{13}{12}$．
（3）若x₁＜0，x₂＜0，则有$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{3-2k}{k-1}＜0}\\{\frac{k+1}{k-1}＞0}\end{array}\right.$，求得k＜-1．
（4）若x₁＞0，x₂＜0，令f（x）=（k-1）x²+（2k-3）x+k+1，则有$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{f（0）=k+1＜0}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{k-1＜0}\\{f（0）=k+1＞0}\end{array}\right.$②．
解①求得k∈∅，解②求得-1＜k＜1，故要求的k的取值范围为（-1，1）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．