Question

16．函数f（x）=$\frac{a}{{log}_{a}x}$（a＞1）的图象沿着向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平移后，若在[2，6]中的最大值与最小值的差为$\frac{2a}{3}$，则a的值为（　　）

• A． 16
• B． $\frac{1}{16}$
• C． 8
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 根据函数图象的平移得出g（x）=$\frac{a}{lo{g}_{a}（x+2）}+1$．
利用单调性结合最值得出方程$\frac{a}{2lo{g}_{a}2}$$-\frac{a}{3lo{g}_{a}2}$=$\frac{2a}{3}$，求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{a}{{log}_{a}x}$（a＞1）的图象沿着向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1）平移得出g（x），
∴g（x）=$\frac{a}{lo{g}_{a}（x+2）}+1$．
∵a＞1，
∴g（x）=$\frac{a}{lo{g}_{a}（x+2）}+1$．在[2，6]上是减函数．
∵[2，6]中的最大值与最小值的差为$\frac{2a}{3}$，
∴g（2）-g（6）=$\frac{2a}{3}$．
即$\frac{a}{2lo{g}_{a}2}$$-\frac{a}{3lo{g}_{a}2}$=$\frac{2a}{3}$，
化简得出：log_a2=$\frac{1}{4}$．
即a=16．
故选：A

点评 本题考察了对数函数的图象和性质，利用函数的单调性得出最值即可求解，熟练运用对数运算化简运算，属于中档题．