Question

11．设实数x，y，z满足0＜x＜y＜z＜$\frac{π}{2}$，证明：$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z．

Answer 1

分析 利用作差法，结合三角恒等变换公式，即可证明结论．

解答 证明：由于sin2x+sin2y+sin2z-2sinxcosy-2sinycosz
=$\frac{1}{2}$[（sin2x+sin2y）+（sin2y+sin2z）+（sin2z+sin2x）]-2sinxcosy-2sinycosz
≤sin（x+y）cos（x-y）+sin（y+z）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）-2sinxcosycos（x-y）-2sinycoszcos（y-z）
=sin（y-x）cos（x-y）+sin（z-y）cos（y-z）+sin（z+x）cos（z-x）
=$\frac{1}{2}$sin（2y-2x）+$\frac{1}{2}$sin（2z-2y）+sin（z+x）cos（z-x）
=sin（z-x）cos（2y-x-z）+sin（z+x）cos（z-x）
≤sin（z-x）+cos（z-x）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{π}{2}$
故$\frac{π}{2}$+2sinxcosy+2sinycosz＞sin2x+sin2y+sin2z．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法，正确运用三角恒等变换公式是关键．