Question

设m、n为实数，且直线mx+ny=2和圆x²+y²=2没有公共点，则关于x的方程x²+2mx+n=0有实根的概率为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,几何概型

专题：导数的概念及应用,概率与统计

分析：根据直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点即为圆心到直线的距离大于半径，得到m与n的范围，满足条件的事件是关于x的方程x²+2mx+n=0有实根，根据二次方程的判别式写出m，n要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，再由几何概型概率计算公式即可得到概率．

解答： 解：由于直线mx+ny=2和圆x²+y²=2没有公共点，
则d=

|-2|

m2+n2

＞

2

，
故m²+n²＜2．
则构成的基本事件空间为Ω={（m，n）|m²+n²＜2}，
SΩ=π•(

2

)2=2π
又由关于x的方程x²+2mx+n=0有实根，
则△=（2m）²-4n≥0，即m²≥n
则对应的集合为A={（m，n）|m²+n²＜2，m²≥n}，
S_A=2

∫

1 0

2-m2

-m2dm=

3π

2

-

1

3

，
则关于x的方程x²+2mx+n=0有实根的概率为P=

3π 2 - 1 3

2π

=

3

4

-

1

6π

故答案为：

3

4

-

1

6π

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及几何概型．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到．是中档题．