Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-4=0，在圆C上只有两个点到直线l：x+y+c=0的距离是

2

，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由圆的方程求出圆心和半径，结合题意可得 r-

2

＜弦心距d＜r+

2

，即 3-

2

＜

|c+3|

2

＜3+

2

，解绝对值不等式，求得c的范围．

解答： 解：圆C：x²+y²-2x-4y-4=0 即 （x-1）²+（y-2）²=9，表示以C（1，2）为圆心，半径等于3的圆．
∵圆C上只有两个点到直线l：x+y+c=0的距离是

2

，∴r-

2

＜弦心距d＜r+

2

．
再根据圆心到直线的距离d=

|1+2+c|

2

=

|c+3|

2

，可得 3-

2

＜

|c+3|

2

＜3+

2

，
求得3

2

-2＜|c+3|＜3

2

+2，
∴3

2

-2＜c+3＜3

2

+2 ①，或-3

2

-2＜c+3＜-3

2

+2 ②．
解①可得-5+3

2

＜c＜-1+3

2

，解②可得-5-3

2

＜c＜-1-3

2

，
故答案为：（-5+3

2

，-1+3

2

）∪（-5-3

2

，-1-3

2

）．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．